Équation polynômiale (5) - Corrigé

Énoncé

On note \((E)\) l'équation :  \(z^4 =-9\) , d'inconnue \(z \in \mathbb{C}\) .

1. Montrer que, si \(z \in \mathbb{C}\) est solution de \((E)\) , alors \(\overline{z}\) et \(-z\) sont aussi solution de \((E)\) .

2. On note \(z_0\) le nombre complexe : \(z_0 = \sqrt{\dfrac{3}{2}} (1+i)\) .
    a. Écrire \(z_0\) sous forme exponentielle.
    b. Vérifier que \(z_0\) est solution de (E) .

3. Déduire des questions précédentes trois autres solutions de \((E)\) .

4. En déduire l'ensemble des solutions de \((E)\) .

Solution

1. Soit \(z \in \mathbb{C}\) solution de \((E)\) alors \(z^4 =-9\) . On a donc \((-z)^4 = ((-z)^2)^2 = (z^2)^2 = z^4 = -9\) , donc \(-z\) est solution de \((E)\) .
Et  \(z^4 =-9\)   donc \(\overline{z^4} = \overline{-9}\) , donc \(\overline{z}^4 =-9\) , donc \(\overline{z}\) est solution de \((E)\) .

2. a. \(z_0 = \sqrt{\dfrac{3}{2}} (1+i)\)
\(\left\vert \sqrt{\dfrac{3}{2}} (1+i) \right\vert= \left\vert \sqrt{\dfrac{3}{2}} \right\vert \left\vert 1+i \right\vert= \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \times \sqrt{2}= \sqrt{3}\)
Donc  \(z_0 = \sqrt{3} \left( \dfrac{1}{\sqrt{3}} \times \sqrt{\dfrac{3}{2}} (1+i) \right)= \sqrt{3} \left( \dfrac{1}{\sqrt{2}} + i \dfrac{1}{\sqrt{2}} \right)= \sqrt{3} \left( \cos\left( \dfrac{\pi}{4} \right) + i \sin\left( \dfrac{\pi}{4} \right) \right)= \sqrt{3} e^{\dfrac{i \pi}{4}}\)

b. \(z_0^4 = \left( \sqrt{3} \text e^{\frac{i \pi}{4}} \right)^4 = \sqrt{3}^4 \left( \text e^{\frac{i \pi}{4}} \right)^4 = 9 \times \text e^{i\pi} = -9\) .

Donc \(z_0\) est solution de \((E)\) .

3. Avec ce qui précède, \(\overline{z_0} = \sqrt{\dfrac{3}{2}} (1-i) \,\text {et} -z_0 = -\sqrt{\dfrac{3}{2}} (1+i)\) sont solution de \((E)\) , mais également \(-\overline{z_0} = \sqrt{\dfrac{3}{2}} (-1+i)\) .

4. \((E)\) est une équation polynomiale de degré \(4\) , donc a au plus \(4\) solutions, et on a trouvé \(4\) solutions distinctes, donc les solutions de \((E)\) sont  \(z_0 , -z_0 , \overline{z_0}\) , et \(-\overline{z_0}\) .